Research Seminar

The talks are taking place in seminar room 2.066.

Harmonic analysis and Schrödinger equations on the Heisenberg group
If you take an odd-dimensional Euclidean space and make addition satisfy the Heisenberg commutation relation, you get the Heisenberg group. In this talk I will give some highlights on what similarities and differences one finds when studying harmonic analysis and in particular regularity properties of the Schrödinger equation on this group. The non-commutativity makes many things more complicated, but we shall also see that several of the general ideas of Euclidean space carry over to this setting.

Über das L^p-Fortsetzbarkeitsproblem
Für einen gegebenen Banachraum X, einen Maßraum (S, A, μ), 1 ≤ p < ∞ und den daraus resultierenden Lp-Raum L^p(S) können wir für einen stetigen Operator T : X → X durch die Setzung (x, f ) → T x·f eine lineare Abbildung T ⊗ I_X auf dem algebraischen Tensorprodukt X ⊗ L^p(S) in den Bochnerraum L^p(S; X) definieren. Da der Raum X ⊗ L^p(S) dicht im Bochnerraum liegt, ergibt sich die naheliegende Frage, wann sich der Operator stetig auf den ganzen Bochnerraum fortsetzen lässt. Es stellt sich heraus, dass es leider keine universelle Regel gibt die es uns erlaubt zu schließen, wann wir eine stetige Erweiterung erhalten. Dennoch gibt es eine Reihe an besonderen Fällen, welche hinreichende Bedingungen für die stetige Fortsetzbarkeit liefern: im Falle, dass X isomorph zu einem Unterraum eines Quotientenraums eines L^p-Raums ist; im Falle, dass X ein Hilbertraum ist und im Falle, dass der Operator T regulär ist. Zuletzt lässt sich anhand von Untersuchungen sogenannter Operatorideale zeigen, dass wir im ersten Fall sogar beinahe eine Äquivalenz erhalten.
Hierfür setzen wir uns mit der Geometrie von L^p-Räumen und Bochnerräumen, und mit der Theorie L^p-faktorisierbarer Operatoren auseinander.

A cheap way to closed operator sums
Consider two sectorial operators with commuting resolvents in a Banach space. We present a simple and common approach to results on closedness of their operator sum, based on Littlewood-Paley type norms and tools from several interpolation theories. This allows us to give short proofs for the well-known results due to Da Prato-Grisvard and Kalton-Weis. We prove a new result in l^q-interpolation spaces and illustrate it with a maximal regularity result for abstract parabolic equations. Our approach also yields a new proof for the Dore-Venni result. This is joint work with Bernhard Haak (Univ. Bordeaux)